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🌟 從生活學線性規劃:警察排班與公司存錢兩個小故事


👮‍♀️ 故事一:警察局怎麼排班最省人?

🧩 情境

克拉克郡警局每天 24 小時都要有人值班。
一個班 8 小時,有六個開始時間:

早上 8 點、中午、下午 4 點、晚上 8 點、半夜、凌晨 4 點

每位警察上一班(8 小時)會剛好覆蓋兩個 4 小時時段
例如:早上 8 點上班 → 會管「8~12」和「12~16」這兩段。

🚨 各時段至少要有的人數

時段 最少人數
8~12 5
12~16 6
16~20 10
20~24 7
0~4 4
4~8 6

💡 問題

要怎麼安排每個時段開始的警察人數,
讓每個時段都夠人、但整體用最少警察?


🧠 想法

  • 設 x₁ = 早上 8 點上班的人數
  • x₂ = 中午上班的人數
  • x₃ = 下午 4 點上班的人數
  • x₄ = 晚上 8 點上班的人數
  • x₅ = 半夜上班的人數
  • x₆ = 凌晨 4 點上班的人數

每個 4 小時時段都要有夠多警察,
所以要符合下面的條件:

x₁ + x₆ ≥ 5 (816) x₃ + x₂ ≥ 10 (1624) x₅ + x₄ ≥ 4 (08)

🔹 第一條:x₁ + x₆ ≥ 5 (8~12)

意思是:「早上 8 點上班的警察」和「凌晨 4 點上班的警察」會一起負責早上 8~12 這段時間。

👉 至少要有 5 個人值班,
所以這兩批加起來要 ≥ 5。


🔹 第二條:x₃ + x₂ ≥ 10 (16~20)

意思是:「下午 4 點上班」跟「中午上班」的人一起負責下午 4~8 點這段。

👉 這段最忙(例如下班時段),
所以要至少 10 人同時在崗位上。


🔹 第三條:x₅ + x₄ ≥ 4 (0~4)

意思是:「半夜上班」和「晚上 8 點上班」的警察一起負責半夜 0~4 點。

👉 這段是夜深人靜時,只需要少一點人,
所以要 ≥ 4。


💡 一句話總結

每一條像「x₁ + x₆ ≥ 5」
其實就是在說:「這段時間要夠人上班」。

因為一個班 8 小時,所以相鄰兩班會同時覆蓋某段時段。
我們用這些式子確保:

任何一個時段都有人在、而且不缺人!

🎯 目標

想讓「總人數」最少:

最少化 Z = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆


📊 生活理解

這題的重點是:

怎麼「重疊班」讓人數剛好夠用,不浪費。

有點像開便利商店:

一個人上 8 小時,可以支援兩個時段,
怎麼排最少店員又不缺人?


💰 故事二:霍克斯公司要準備未來六年的錢

🧩 情境

霍克斯公司被法院要求,
要準備一筆錢來支付接下來 6 年的款項(單位:千美元):

年份 要付的金額
第1年 190
第2年 215
第3年 240
第4年 285
第5年 315
第6年 460

💡 可投資方式

公司有三種選擇:

  1. 放銀行(利率 4%)
  2. 買債券1(報酬率 6.75%,3年到期)
  3. 買債券2(報酬率 5.125%,4年到期)

目標是要知道:

一開始最少要準備多少錢(期初資金),
才能每年都付得出來。


🧠 想法

這題就像在問:

「我現在要存多少錢,才可以每年支出固定金額,利息剛好補上?」

舉例:

  • 第一年要拿 190 千
  • 第二年要拿 215 千
  • 之後每年還要再付
  • 錢可以放銀行生利息,或買債券賺更多

所以要建立一個數學關係:

下一年的錢 = 今年剩下的錢 × (1+利率) + 債券收益 - 支出


🎯 目標

找出最小的期初金額 F
讓這筆錢在 6 年內都不會用完。


📈 延伸思考

這題在真實世界很常見:

  • 🏦 公司要規劃現金流
  • 👩‍🏫 學校基金會要分配獎學金
  • 👨‍👩‍👧‍👦 家庭要存退休金

核心概念都是:「讓錢剛剛好夠用,不多準備也不會短缺。」


🧩 小結

類型 重點 現實應用
👮‍♀️ 警察排班 找最少人力滿足需求 班表、人力管理
💰 公司存錢 找最少本金滿足支出 理財、預算規劃

💬 最簡單一句話理解

線性規劃(LP)就是在「有限的條件下,讓資源分配最划算」。


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